Vous pouvez proposer vos solutions aux problèmes énoncés ici, ou proposer de nouveaux problèmes, en utilisant le le forum.

1. Est-il équitable de jouer avec un banquier ?
2. Trois portes et une seule voiture

Voulez vous jouer ?

Voici un jeu d'argent que j'ai découvert, en même temps que deux camarades de taupe, dans les rues de New York il y a... longtemps, et que j'ai vu jouer depuis à Paris rue de Belleville.

Le banquier a 3 dés. Le joueur peut miser sur chacun des 6 chiffres qu'un dé est susceptible d'afficher.

Le joueur mise 1 $ sur un chiffre x : si un des 3 dés affiche x il gagne 1$, si 2 des 3 dés affichent x il gagne 2$, si 3 des 3 dés affichent x il gagne 3$, et si aucun des 3 dés n'affiche x il perd son $.

Le jeu est-il exactement équitable ou en faveur du banquier ?

Le fait que des banquiers issus des classes populaires animent ce jeu ne permet pas de conclure : ce fait laisse subsister 2 possibilités

• soit le jeu est en faveur du banquier (en espérance mathématique, c'est à dire sur un grand nombre de parties),
• soit le jeu est équitable et les banquiers trichent.

Intuitivement, ce jeu n'est pas grossièrement inéquitable : avec un dé il y a une chance sur 6 de voir x affiché, avec 3 dés il y a en toute première approximation à peu près 3 fois une chance sur 6 donc à peu près une chance sur deux de gagner environ 1$, et à peu près une chance sur deux de perdre 1$.

L'un des trois taupins démontra que ce jeu est exactement équitable ainsi.
" Je mise sur le 4 (par exemple)

• Je gagne 3 $ si le premier dé affiche 4 (probabilité 1/6), le second dé aussi (même probabilité), le troisième aussi (même probabilité) : Je gagne donc 3 $ avec la probabilité (1/6)*(1/6)*(1/6) = 1/216
• Je gagne 2 $ si
  • Soit le premier et le second dé affichent 4, le troisième non : probabilité (1/6)*(1/6)*(5/6) = 5/216 ;
  • Soit le premier et le troisième dé affiche 4, le second non : même probabilité ;
  • Soit le second et le troisième dé affichent 4, le premier non : même probabilité.
  Je gagne donc 2 $ avec la probabilité 3*5/216 = 15/216.
• Je gagne 1 $ si
  • Soit le premier dé affiche 4, le second et le troisième non : probabilité (1/6)*(5/6)*(5/6) = 25/216 ;
  • Soit le second dé affiche 4, le premier et le troisième non : même probabilité ;
  • Soit le troisième dé affichent 4, le premier et le second non : même probabilité.
  Je gagne donc 1 $ avec la probabilité 3*15/216 = 75/216
• Résumé : je gagne
  3 $ avec la probabilité 1/216
  2 $ avec la probabilité 15/216
  1 $ avec la probabilité 75/216
  

Pensez-vous qu'il avait raison ?

(Ceux qui le pensent seront conviés à une petite partie où je ferai le banquier).

Alain Tosetti

Trois portes et une seule voiture

Un candidat à un jeu télévisé est placé devant trois portes fermées.
Derrière l'une d'elles il y a une voiture à gagner.
Le candidat choisit une des trois portes et se place devant elle.
Le présentateur, qui connaît l'emplacement de la voiture, ouvre l'une des deux autres portes, derrière laquelle il n'y a pas de voiture (c'est évidemment toujours possible).
Il reste donc deux portes fermées : celle que le candidat a initialement choisie, et une autre.
Le candidat peut maintenant ouvrir l'une de ces deux portes pour gagner la voiture.
A-t-il ou non intérêt à modifier son choix initial ?

Réponse intuitive.
Les deux portes encore fermées ont chacune une chance sur deux de cacher la voiture, donc il n'a pas spécialement intérêt à changer.
Qu'en pensez-vous ?